3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 1.了解直线的方向向量的意义． 2.会求直线的向量方程． 3.掌握用向量的方法证明平行、垂直等问题．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量．(2)空间直线的向量参数方程点 A 为直线 l 上的定点，a 为直线 l 的一个方向向量，点 P 为直线 l 上任一点，t 为一个任意实数．以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．(3)线段中点的向量表示式设点 M 是线段 AB 的中点，则OM＝( OA ＋ OB ) ．2．用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行(1)设空间直线 l1与 l2的方向向量分别为 v1，v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥ v 2．(2)已知两个非零向量 v1，v2 与平面 α 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则l∥α(或 l⊂α)⇔存在两个实数 x，y，使 v ＝ x __v1＋ y v 2．(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量 v1，v2与平面 α 共面，则 α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥ β 且 v2∥ β ．3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成角为 θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与 θ 相等或互补．设直线 l1与 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥ v 2，cos θ＝| cos 〈 v 1， v 2〉 | ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．若 A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A．(1，2，3) B．(1，3，2)C．(2，1，3) D．(3，2，1)答案：A3．若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150°，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于( )A．30°1B．150°C．30°或 150°D．以上均错答案：A 确定直线上任一点的位置 已知 O 是坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．(1)若OP＝(AB－AC)，求 P 点的坐标；(2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标．【解】 (1)AB＝(－1，1，5)，AC＝(－3，－1，5)．OP＝(AB－AC)＝×(2，2，0)＝(1，1，0)．所以 P 点的坐标为(1，1，0)．(2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 AP...
