3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示 1.了解空间向量在立体几何中应用的广泛性． 2.理解平面的法向量的概念及平面的向量表示． 3．掌握利用平面的法向量证明平行、垂直问题(包括三垂线定理及其逆定理)．1．平面的法向量的概念如果一个向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫做平面 α 的法 向量 ，或说向量 n 与平面 α 正交．2．平面向量的表示式A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则AM · n ＝ 0 表示通过空间内一点 A 并且与一个向量 n 的平面．[注意] (1)满足AM·n＝0 的点 M 的轨迹是一个与向量 n 垂直的平面.AM·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．(2) 若 n1 、 n2 分 别 是 平 面 α 、 β 的 法 向 量 ， 则 α∥β 或 α 与 β 重 合⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.3．射影的概念已知平面 α 和一点 A，过点 A 作 α 的垂线 l 与 α 相交于点 A′，则 A′就是点 A 在平面α 内的正射影，以下简称射影．由上述定义可知，平面 α 内的任一点在 α 内的射影都是它自身．图形 F 上所有的点在平面 α 内的射影所成的集合 F′，叫做图形 F 在平面 α 内的射影．4．斜线的相关概念如果一条直线 AB 和平面 α 相交于点 B，但不和 α 垂直，那么直线 AB 叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 B 叫做斜足，斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做斜线段 AB.5．三垂线定理及其逆定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直；反之，如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．在空间直角坐标系中，平面 xOz 的一个法向量是( )A．(1，0，0) B．(0，1，0)C．(0，0，1) D．(0，1，1)答案：B2．平面 α，β 的法向量分别是 a＝(4，0，－2)，b＝(1，0，2)，则平面 α，β 的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．无法判断解析：选 B．因为 a·b＝4＋0－4＝0，所以 α⊥β.3．斜线 b 在平面 α 内的射影为 c 且直线 a⊥c，则 a 与 b________垂直. (填“一定”或“不一定”)解析：因为 a 不一定在平面 α 内，所以 a 与 b 不一定垂直．1答案：不一定 求平面的法向量 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立...
