3．2.4 二面角及其度量 1.了解二面角的有关概念． 2.理解二面角及二面角的平面角的定义． 3.掌握求二面角大小的基本方法及步骤．1．二面角的相关概念2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为 θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当 n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且 n1，n2的方向分别与半平面 α，β 的延伸方向相同，则 θ＝〈 n 1， n 2〉．(2)当 m1⊥α，m2⊥β，则 θ＝〈 m 1， m 2〉或 θ＝π －〈 m 1， m 2〉．1．若二面角的两个半平面的法向量分别为(4，2，0)和(3，－6，5)，则这个二面角的余弦值是( )A．0 B．C． D．解析：选 A．4×3＋2×(－6)＋0×5＝0，所以二面角的两个半平面的法向量垂直，故这个二面角的余弦值是 0.2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．答案：45°或 135° 定义法求二面角 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝a，求证：1(1)PD⊥平面 ABCD；(2)平面 PAC⊥平面 PBD；(3)二面角 PBCD 是 45°的二面角．【证明】 (1)因为 PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以 PC2＝PD2＋DC2，所以 PD⊥DC.同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D，所以 PD⊥平面 ABCD.(2)由(1)知 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥AC，而四边形 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD.又 BD∩PD＝D，所以 AC⊥平面 PDB.同时 AC⊂平面 PAC，所以平面 PAC⊥平面 PBD.(3)由(1)知 PD⊥BC，又 BC⊥DC，PD∩DC＝D，所以 BC⊥平面 PDC，所以 BC⊥PC.所以∠PCD 为二面角 PBCD 的平面角．在 Rt△PDC 中，PD＝DC＝a，所以∠PCD＝45°.所以二面角 PBCD 是 45°的二面角．由定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个半平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧．如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等． 如图，在四面体 ABCD 中，AD⊥平面 BCD，AD＝DC＝BC＝a，AB＝a.(1)求证：平面 ABC⊥平面 ADC；(2)求二面角 CABD 的大小．解：(1)证明：因为 AD⊥平面 BCD，所以 AD⊥DB，AD⊥BC.又 AD＝a，AB＝a，所以 DB＝a.2又 DC＝BC＝a，因此 BD2＝CD2＋BC2，即∠DCB＝90°，所以 DC⊥BC，因此 BC⊥平面 ADC.又BC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 ADC....
