5.5.2 简单的三角恒等变换学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节．事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符．问题：(1)任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？(2)半角公式是如何推导出来的？提示：(1)是 α 的半角，α 是 2α 的半角．(2)半角公式的推导是利用公式 cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.半角公式(1)sin＝± ，(2)cos＝± ，(3)tan＝± ，(4)tan＝＝＝，tan＝＝＝.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)cos ＝.( )(2)存在 α∈R，使得 cos ＝cos α.( )(3)对于任意 α∈R，sin ＝sin α 都不成立．( )(4)若 α 是第一象限角，则 tan ＝.( )[ 提 示 ] (1)×. 只 有 当 － ＋ 2kπ≤≤ ＋ 2kπ(k∈Z) ， 即 － π ＋ 4kπ≤α≤π ＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝.(2)√.当 cos α＝－＋1 时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若 α 是第一象限角，则是第一、三象限角，此时 tan ＝成立．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于( )A．－ B．C．－ D．C [ 180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又 cos2＝，∴cos α＝－.]3．已知 cos α＝，α∈，则 sin 等于( )A. B．－ C. D．A [由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.]4．已知 2π＜θ＜4π，且 sin θ＝－，cos θ＜0，则 tan 的值等于 ．－3 [由 sin θ＝－，cos θ＜0 得 cos θ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.]化简求值问题【例 1】 (1)设 5π＜θ＜6π，cos＝a，则 sin 等于( )A. B．C．...
