5.3 导数在研究函数中的应用5.3.1 函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养.观察 y＝x－1，y＝2x＋1，y＝－3x＋1 的图象并回答以下问题：① 这 3 个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？② 分别求出这 3 个函数的导数，并观察其导数值有何特点．1．函数 f (x)的单调性与导函数 f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f (x)：f ′(x)的正负f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递增f ′(x)＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，那么函数 f (x)有什么特性？[提示] f (x)是常数函数．2．判断函数 y＝f (x)的单调性第 1 步：确定函数的定义域；第 2 步：求出导数 f ′(x)的零点；第 3 步：用 f ′(x)的零点将 f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数 y＝f (x)在定义域内的单调性．3．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递减．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点 f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性( )[提示] (1)√ 函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，所以函数 f (x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)× 切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．(3)√ 函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√ 若 f ′(x)≥0(≤0)，则函数 f (x)在区间内单调递增(减)，故 f ′(x)＝0 不影响函数单调性．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．函数 f (x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减D．不确定A [ f...
