高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 不等式证明的基本方法导学案新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

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1.5.1 比较法在理解比较法的基础上，会用作差、作商两种形式的比较法比较两个代数式的大小，会用比较法证明较简单的不等式.自学导引1.因为 a>b⇔a － b >0 ，要证 a>b，只需要证 a － b >0 ，同样要证 ab，只需证>1；如果 a、b 都是负数，要证 a>b，只需证<1.基础自测1.下列关系中对任意 a1 D.>b2解析 ab2>0，∴lg a2>lg b2，故选 B.答案 B2.已知 a>0 且 a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则 P、Q 的大小关系是( )A.P>Q B.P1 时，a3＋1>a2＋1，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，当 0loga(a2＋1)，综合以上两种情况知 P>Q，故选 A.答案 A3.设 P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且 ab≠1，a≠－2.则 P、Q 的大小关系是________.解析 P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2－4a＝(ab－1)2＋(a－2)2>0，∴P>Q.答案 P>Q知识点 1 两代数式大小的比较【例 1】已知 x0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).●反思感悟：实数大小的比较常用 a>b⇔a－b>0 或“>1，且 b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断.1.设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb与 abba的大小.解＝aa－b·bb－a＝.当 a>b>0 时，>1，a－b>0，则>1，于是 aabb>abba.当 b>a>0 时，0<<1，a－b<0，则>1，于是 aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.知识点 2 作差比较法证明不等式【例 2】设 a>0，b>0，求证＋≥a＋b.证明方法一：左边－右边＝－(＋)＝＝＝≥0.∴原不等式成立.方法二：左边>0，右边>0.＝＝≥＝1，∴原不等式成立.●反思感悟：用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩.2.设 a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b).因为 a≥b>0，所以 a－b≥0，3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥...

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