1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，其余的点恒有 f′(x)>0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ )2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ )类型一 利用导数求参数的取值范围例 1 若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 [1，＋∞)解析 由于 f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于 f′(x)＝k－≥0 在(1，＋∞)上恒成立．由于 k≥，而 0<<1，所以 k≥1.即 k 的取值范围为[1，＋∞)．引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求 k 的取值范围．解 f′(x)＝k－，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f′(x)＝k－≤0 在(1，＋∞)上恒成立，即 k≤， 0<<1，∴k≤0.即 k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求 k 的取值范围．解 f(x)＝kx－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－.当 k≤0 时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．当 k>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝，只需∈(1，＋∞)，即>1，则 0
