高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1.3.1 函数的单调性与导数学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3.会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，那么函数 f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1．思考辨析(1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数 B．减函数C．先增后减D．不确定A [ f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0 在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]3．函数 y＝f(x)的图象如图 131 所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )图 131D [ 函数 f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当 x＞0 时，f′(x)＜0，当 x＜0 时，f′(x)＜0.]4．函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间为________. 【导学号：31062036】[解析] f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由 f′(x)＞0 得，ex－1＞0，即 x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)[合 作 探 究·攻 重 难]函数与导函数图象间的关系 (1)设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图 132 所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能为( )图 132 (2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图 133 所示，则 f(x)的图象只可能是( )图 133(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当 x＜0 时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D.(2)从 f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数 f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项 D 符合．][规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法...