高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数（一）学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案VIP专享

1．3.3 函数的最大(小)值与导数(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点 函数的最大(小)值与导数如图为函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考 1 观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4)．思考 2 结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．( √ )2．函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( × )3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( × )类型一 求函数的最值例 1 求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f′(x)＝－4x3＋4x，令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60↗极大值↘极小值↗极大值↘－5∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， f′(x)在[－1,1]内恒大于 0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当 x＝－1 时，f(x)min＝－12；当 x＝1 时，f(x)max＝2.即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验 f′(x)＝0 的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练 1 求下列函数的最值．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)函数 f(x...