高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂导学三点剖析一、充分条件与必要条件的判断【例 1】在下列各题中,判断 A 是 B 的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程 x2+px+p+3=0 有实根;(2)A:圆 x2+y2=r2与直线 ax+by+c=0 相切,B:c2=(a2+b2)r2.解析:(1)当|p|≥2 时,例如 p=3,则方程 x2+3x+6=0 无实根,而方程 x2+px+p+3=0 有实根,必有p≤-2 或 p≥6,可推出|p|≥2,故 A 是 B 的必要不充分条件.(2) 若 圆 x2+y2=r2 与 直 线 ax+by+c=0 相 切 , 圆 心 到 直 线 ax+by+c=0 的 距 离 等 于 r, 即 r=22||bac,所以 c2=(a2+b2)r2;反过来,若 c2=(a2+b2)r2,则22||bac=r 成立,说明 x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r,即圆 x2+y2=r2与直线 ax+by+c=0 相切,故 A 是 B 的充分必要条件.温馨提示 对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确\,完整理解充分\,必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.二、探寻充分条件与必要条件【例 2】 设定义域为 R 的函数,1,10,10||,1|lgxxxx.则关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同实数解的充要条件是( )A.b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0解析：f(x)=,1|,)1lg(|,1,0,1),(|lg|)(xxxxxxf故函数 f(x)的图象如下图.由图知，f(x)图象关于 x=1 对称，且 f(x)≥0,若方程 f2(x)+bf(x)+c=0① 有 7 个解，则方程 t2+bt+c=0② 有两个不等实根，且一根为正，一根为 0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有 4 个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有 8 解. f(x)=0 满足方程，则 c=0,又 另一个 f(x)>0,∴b=-f(x)<0.故 b<0 且 c=0,选 C.1答案：C温馨提示 充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义.三、充要条件的证明【例 3】 证明关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一根为-1 的充要条件是 a-b+c=0.证明：①充分性 a-b+c=0，∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0，∴x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，∴a-b+c=0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的充分条件.② 必要性 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根，∴a·（-1）2+b·(-1)+c=0 即 a-b+c=0∴a-b+c=0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的必要条件.综合①②关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的充要条件是 a-b+c=0.各个击...