高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质课堂导学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

1.3.1 正弦函数的图象与性质课堂导学三点剖析 一、正弦函数的图象【例 1】 作函数 y=3tanxcosx 的图象.思路分析:注意函数的定义域.解 ： 由 cosx≠0 ， 得 x≠kπ+， 于 是 函 数 y=3tanxcosx 的 定 义 域 为 {x|x≠kπ+,k∈Z }.又 y=3tanxcosx=3sinx，即 y=3sinx(x≠kπ+,k∈Z).按五个关键点列表：x0π2πsinx010-103sinx030-30 描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图） 先作出 y=3tanxcosx，x∈［0,2π］的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为{x|x=kπ+,k∈Z}的点，得到 y=3tanxcosx 的图象.温馨提示（1）函数 y=3tanxcosx 的图象与 y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的图象在 x=kπ+处不同.因此，作出 y=3sinx 的图象后，要把 x=kπ+（k∈Z）的这些点去掉.（2）作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性.因此，作函数图象时，要先求定义域.各个击破类题演练 1画出 y=2sinx，x∈［0，2π］的图象.思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五个点连接起来就得到 y=2sinx，x∈［0,2π］的图象.解：列表：x0π2πsinx010-102sinx020-20 描点并将它们用平滑曲线连接起来：温馨提示 五点法是画三角函数图象的基本方法，其步骤为：（1）列表；（2）描点；（3）连线.变式提升 1根据正弦函数图象求满足 sinx≥的 x 的范围.解：首先，在同一坐标系内，作出 y=sinx，y=的图象.然后观察长度为 2π 的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］找出符合 sinx≥的 x 的集合［,］.最后拓展到x∈［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.温馨提示(1)一般地，y=sinx 观察长度为 2π 的区间，常常是［0,2π］或［-,］,即一个周期区间.(2)这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决. 二、正弦函数的定义域,值域与性质【例 2】 求下列函数的值域和最值:(1)y=2sinx-1;(2)y=3sin(3x+)+2;(3)y=2cos2x+5sinx-4;(4)y=.思路分析:利用|sinx|≤1,通过变量代换转化为基本函数.解：(1) -1≤sinx≤1,∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.当 x=2kπ+(k∈Z)时,y 有最大值 1;当 x=2kπ-(k∈Z)时,y 有最小值-3.值域为［-3,1］.(2)u=3x+,则有 y=3sinu+2,∴值域为［-1,5］.当 u=2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z)时,y 有最大值 5.当 u=2kπ-(k∈Z),即 x=kπ-(k∈Z)时,y 有最小值-1.(3)设 sinx=u,则|u|≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①问题...