高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象互动课堂学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象互动课堂疏导引导1.正弦函数的图象(1)用单位圆中的正弦线,作出函数 y=sinx 在 x∈［0,2π］上的图象,步骤如下:① 在 x 轴上任取一点 O1,以 O1为圆心作单位圆;② 从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份;③ 过圆上各点作 x 轴的垂线,可得对应于 0, ,,…,2π 的正弦线;④ 相应地,再把 x 轴上从原点 O 开始,把 0~2π 这段分成 12 等份;⑤ 把角的正弦线平移,使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合;⑥ 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来即得,如图 1-4-1.图 1-4-1(2)正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象——正弦曲线.因为sin(x+k·2π)=sinx,k∈Z,所以正弦函数y=sinx在x∈［-2π,0］,x∈［2π,4π］,x∈［4π,6π］,…时的图象与 x∈［0,2π］的形状完全一样,只是位置不同,因此我们把 y=sinx 在 x∈［0,2π］的图象沿 x 轴平移±2π,±4π,…,就可得到 y=sinx,x∈R 的图象,如图 1-4-2.图 1-4-22.作正弦函数简图的方法——五点法观察正弦函数的图象,可以看出(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)这五点在确定图象形状时起着关键作用.这五点描出后,正弦函数 y=sinx,x∈［0,2π］的图象的形状就基本上确定了.在精确度要求不高的情况下,我们常用“五点法”作 y=sinx 在［0,2π］上的近似曲线.3.余弦函数的图象 把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象,余弦函数 y=cosx 的图象叫做余弦曲线.如图 1-4-3.图 1-4-3从上图可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1).活学巧用1.作函数 y=tanx·cosx 的图象.解析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象.当 cosx≠0,即 x≠+kπ(k∈Z)时,有 y=tanx·cosx=sinx,即 y=sinx(x≠+kπ,k∈Z).其图象如图 1-4-4.图 1-4-4点评:函数 y=tanx·cosx 的图象是 y=sinx(x≠+kπ,k∈Z)的图象,因此作出 y=sinx 的图象后,要把 x=+kπ(k∈Z)的这些点去掉.2.作函数 y=的图象.解析:同第 2 题,首先将 y=变形,然后作图.y=化为 y=|sinx|,即 y=k∈Z.其图象如图 1-4-5.图 1-4-53.用“五点法”画函数 y=-1+sinx，x∈［0,2π］的简图.画法一:按五个关键点列表.x0π2πsinx010-10-1+sinx-10-1-2-1利用正弦函数的性质描点画图,如图 1-4-6.图 1-4-6画法二:可先用“五点法”画 y=sinx,x∈［0,2π］的图象（如图中的虚线图），再将其向下平移 1 个单位也得到 y=-1+sinx,x∈［0,2π］的图象.4.用五点法画出函数 y=-cosx,x∈［0,2π］的图象.解析:画法一:按五个点列表.X0π2πcosx10-101-cosx-1010-1描点画图,如图 1-4-6.图 1-4-7画法二:先用五点法画 y=cosx 的图象,再作它关于 x 轴的对称图.