1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质互动课堂疏导引导1.周期性(1)周期函数:一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.(2)正弦函数的周期从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)是它的周期,最小正周期是 2π.正 弦 函 数 的 周 期 也 可 由 诱 导 公 式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z) 得 到 . 由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可知当自变量 x 的值每增加或减少 2π 的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为 2kπ(k∈Z),最小正周期为 2π.类似地,可以探索余弦函数的周期为 2kπ,最小正周期为 2π.2.奇偶性(1)正弦函数 y=sinx(x∈R)是奇函数,① 由诱导公式 sin(-x)=-sinx 可知上述结论成立.② 反映在图象上,正弦曲线关于原点 O 对称.③ 正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为 x=kπ+,k∈Z.(2)余弦函数的奇偶性与对称性① 奇偶性:由诱导公式知 cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于 y 轴对称.② 对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+,0)(k∈Z);余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ(k∈Z).3.单调性(1)正弦函数的单调性在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当 x 由-增加到时,sinx 由-1 增加到1;当 x 由增大到时,sinx 由 1 减小到-1,情况如下表:x-0πsinx-1010-1由正弦函数的周期性可知: 正弦函数 y=sinx 在每一个闭区间［-+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从-1 增大到 1,是增函数;在每一个闭区间［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上,都从 1 减小到-1,是减函数.(2)余弦函数的单调性 通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,它的值由 1 减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k∈Z)上都是增函数,它的值由-1 增大到 1.4.最值 从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2kπ+ (k∈Z)时,取得最大值 1;当 x=2kπ- (k∈Z)时,取得最小值-1.对余弦函数来说,当 x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值 1;当 x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1.活学巧用1.求下列函数的周期:(1)y=sinx;(2)y=2sin(-).解析:(1)如果令 m=x,则 sinx=sin...
