高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质疱工巧解牛知识•巧学 由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R，即 y=sinx，x∈R,y=cosx，x∈R.通过正、余弦函数的图象，可知它有如下的主要性质.一、周期性1.对于函数 y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R 的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得出：任何一个常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的周期，它们的最小正周期都是2π. 设 T 是 y=sinx 的最小正周期，且 0＜T＜2π，根据周期函数的定义，当 x 取定义域内每一个值时，都有 sin(x+T)=sinx.令 x=，代入上式，得 sin(+T)=sin=1. 但是 sin(+T)=cosT，于是 cosT=1，这表明 T 的值是 0,2π,…，即 T=2kπ,k∈Z，这与 0＜T＜2π 相矛盾.所以不存在小于 2π 的最小正周期,即 y=sinx 的最小正周期为 2π.2.y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)型的函数的周期仅与函数解析式中 x 的系数 ω 有关，而与其他量无关.事实上，设 y=Asin(ωx+φ)，x∈R，其中 A、ω、φ 均为常数，且A≠0，ω＞0.令 z=ωx+φ，因为 x∈R，所以 z∈R，且函数 y=Asinz，z∈R 的周期是 2π.由于 z+2π=ωx+φ+2π=ω(x+)+φ，所以自变量 x 只需增加到 x+.函数值才能重复 出 现 . 所 以 函 数 y=Asin(ωx+φ) ， A≠0 ， ω ＞ 0 的 最 小 正 周 期 是. 同 理 可 证y=Acos(ωx+φ)，A≠0，ω＞0 的最小正周期也是.例如 y=2sin(x-)的周期是等.学法一得 反证法是一种典型的补集思想，它也是一种常见的证明方法，是高考中常常考查的一个重要内容.对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目，可考虑用反证法.具体地说，对于那些含有否定词的命题，如“至少”“唯一性”“至多”“都不是”“不存在”等命题，尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发，把题设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证，如果导出的结论与公理相矛盾、与已知条件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等，那么就否定了假设从而肯定了原命题的正确.记忆要诀 函数 y=Asin(ωx+φ)，x∈R 及函数 y=Acos(ωx+φ)，x∈R (其中 A、ω、φ 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期为 T=.二、奇偶性 对于函数 f(x)=sinx，它的定义域为 R，因为 f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，即对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，所以它是奇函数....