高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质疱工巧解牛知识•巧学一、正切函数的周期 π 是正切函数的周期.在这里，我们用两角和的正切公式 tan(α+β)=证明 π 是正切函数的最小正周期. 设 T 是正切函数的最小正周期且 0＜T＜π，那么，根据周期函数的定义，当 x 取定义域内的每一个值时，都有 tan(x+T)=tanx.令 x=代入上式，得 tan(+T)=tan=1，即 =1，解得 tanT=0，此时 T=kπ，k∈Z，这与 0＜T＜π 相矛盾.这说明上述tanT=0 是不可能的，于是 T 必须等于 π，即正切函数的最小正周期是 π.学法一得 (1)周期函数的定义中“当 x 取定义域内的每一个值时”的“每一个”的含义是指函数定义域内的所有 x 值，如果存在一个 x0，使得 f(x0+T)≠f(x0)，那么 T 就不是函数f(x)的周期.(2)根据问题所给的全部信息，选包含在问题中的题设或结论中的某个特殊值，导出问题的答案，再进一步论证其正确性的方法，称之为特殊化法.二、正切函数的奇偶性 由诱导公式三可知，tan(-x)=-tanx.又因为正切函数的定义域是 x∈R，且 x≠+kπ,k∈Z，它关于原点对称，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称.三、正切函数的单调性 过单位圆与 x 轴的正半轴的交点 A(1,0)作单位圆的切线，它与角 α 的终边(当角 α 为第一、四象限时)或其反向延长线(当角 α 为第二、三象限时)相交于点 T，我们就把有向线段 AT 叫做角 α 的正切线. 设角 α∈(,)，当 α 由小变大时，可见它的正切线在负的方向上由长逐渐变短到零，再在正的方向上由零逐渐变长.结合正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(-+kπ, +kπ),k∈Z 内都是增函数.四、正切函数的值域由正切函数线的变化规律可知，正切函数在给定的定义域上没有最值，它的值域是 y∈R.五、正切函数的对称性 正 切 函 数 是 中 心 对 称 图 形 ， 同 一 支 曲 线 的 对 称 中 心 是 图 象 与 坐 标 轴 的 交 点(kπ，0)，k∈Z.相邻的两支曲线的对称中心是它们的公共渐近线同坐标轴的交点 (+kπ，0)，k∈Z.由于终边落在坐标轴上的角是 α=，k∈Z，可知切函数的对称中心是(，0).六、用正切线作正切函数 y=tanx，x∈(，)的图象1.由任意角的三角函数的定义可知，正切函数 y=tanx 的定义域是{x|x∈R 且 x≠+kπ，k∈Z }，即角 x 的终边不能落在 y 轴上.结合单位圆中正切线的画法及其周期性，我们选择在(，)这一区间内作它的图象是最为适...