高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.4 正切函数的图象与性质课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.4.4 正切函数的图象与性质课堂导学三点剖析1.正切函数的图象和性质.【例 1】 已知函数 y=tan,（1）作此函数在一个周期开区间上的简图；（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令-=z）将问题转化到正切函数 y=tanZ的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.解：（1）列表：x-…-…--…0…tan（-）-∞…-101…+∞描点作线画图：（2） -≠+kπ,k∈Z.∴x≠+2kπ,从而函数的定义域是{x∈R｜x≠π+2kπ,k∈Z}.函数的周期是 T==2π.又 -+kπ＜-＜+kπ,k∈Z,∴-+2kπ＜x＜π+2kπ.故函数的单调增区间是（-+2kπ，π+2kπ），k∈Z；无减区间.（3）由-=+kπ，k∈Z 得x=,故函数图象的渐近线为x=π+2kπ,k∈Z；再由-=，k∈Z，得 x=+kπ,故函数图象的对称中心为（+kπ，0），k∈Z.2.正切函数图象与性质的应用【例 2】求满足下面条件的 x 的集合tan(2x-)+3＞0.思路分析：本题可将 2x-看作一个整体，利用 y=tanx 的图象及单调性求解.解：原不等式可化为 tan（2x-）＞，设 z=2x-.如下图，在（-，）上满足 tanz＞的角的范围是-＜z＜,所以在整个定义域上有-+kπ＜z＜+kπ,k∈Z,即-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z.解得＜x＜+,k∈Z.所以原不等式的解集是{x｜＜x＜+,k∈Z}.温馨提示 本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将 2x-看作一个变量 Z，然后结合正切函数的图象得到 Z 的范围，最后用 2x-替换 Z，解得 x 即可.3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解.【例 3】若 A={x｜tanx＞0}，B={x｜≥0}，试求 A∩B.解：由 B 得∴tanx≥.∴A∩B={x｜tanx≥}，而正切函数在每一个区间（kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数，所以 tanx≥的解为kπ+≤x＜kπ+,k∈Z，故 A∩B={x｜kπ+≤x＜kπ+,k∈Z}.温馨提示 由 tanx≥易解得 x≥kπ+，k∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（kπ-,kπ+），k∈Z 上是增函数.各个击破类题演练 1求下列函数的定义域（1）y=tan（2x-）;(2)y=.解：（1）函数的自变量 x 应满足：2x-≠kπ+,k∈Z,即 x≠+(k∈Z).所以,函数的定义域为{x｜x≠+,k∈Z}.(2)要使函数 y=有意义，则有即 x≠kπ-，且 x≠kπ+(k∈Z).∴函数的定义域为，{x｜x∈R 且 x≠kπ-,x≠kπ+,k∈Z}.变式提升 1y=｜tanx｜的最小正周期为（ ）A.  B.π  C.2π  D.解析...