1．1.1 相似三角形判定定理[读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为 k，则 k 叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理 2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理 3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为 1 时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．相似三角形的判定[例 1] 如图，若 O 是△ABC 内任一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的靠近 O 的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨] 本题考查相似三角形判定定理 2 的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析] D，E，F 分别是 OA，OB，OC 靠近点 O 的三等分点，∴DE＝AB，EF＝BC，FD＝CA.∴＝＝＝.由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理 1，因为它的条件最容易寻求，实际证明1当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理 2、3 则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC 中，BF⊥AC 于点 F，CE⊥AB 于点 E，BF 和 CE 相交于点 P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1) BF⊥AC 于点 F，CE⊥AB 于点 E，∴∠BFC＝∠CEB.又 ∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝.又 ∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例 2] 如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当 BD与 a，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？[思路点拨] 由于△ABC 与△CDB 相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以 AC 一定与 BC 对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析] ∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边 AC 与 BC 为对应边，以下分两种情况讨论．① 当＝时，...
