3.1.1 两角差的余弦公式课堂导学三点剖析1.两角差的余弦公式【例 1】 已知 sinα=,cosβ=,求 cos(α-β)的值.思路分析：根据两角差的余弦公式知,还须求 cosα、sinβ.由条件可知,只要对 α、β 所处的象限进行讨论即可.解： sinα=＞0,∴α 为第一、二象限角.当 α 为第一象限角时,cosα=;当 α 为第二象限角时,cosα=-. cosβ=＞0,∴β 为第一、四象限角.当 β 为第一象限角时,sinβ=;当 β 为第四象限角时,sinβ=-. cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ,∴当 α、β 均为第一角限角时,cos(α-β)=×+×=;当 α 为第一象限角,β 为第四象限角时,cos(α-β)＝×+×(-)=;当 α 为第二象限角,β 为第一象限角时,cos(α-β)=(-)×+×=-;当 α 为第二象限角,β 为第四象限角时,cos(α-β)＝(-)×+×(-)=-.温馨提示(1)解题时,由结论出发分析题目作了哪些条件准备,还需再求什么,明确理解题的目标.(2)已知条件中给出某个角的三角函数值,但并未指出角 α 所在的象限时,一般要进行分类讨论.2．灵活应用两角差的余弦公式【 例 2 】 已 知 cos(α-)=-,sin(-β)=, 且 α∈(,π),β∈(0,π2), 求 cos的值.思路分析：本题是给值求值的问题,若不考虑条件,盲目地看 cos无法求.为此寻求已知条件中角 α-、-β 与欲求式中角的关系,不难发现=(α-)-(-β),这样将 cos的值转化为 cos［(α-)-(-β)］的值,可利用两角差的余弦公式求得.解： ＜α＜π,0＜β＜,∴ ＜＜,0＜＜,＜α+β＜.∴＜α-＜π,-＜-β＜,＜α+＜.又 cos(α-)=- ,sin(-β)=，∴sin(α-)=,cos(-β)=.∴cosα+=cos［(α-)-(-β)］=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=-.温馨提示 像这类给值求值问题,关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角,这个过程我们称作“角的变换”，同学们应注意总结，积累经验.3.两角差的余弦公式的理解与变形是疑点【例 3】 以下命题：①cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ；② 对任意角 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 都成立；③cos(α-β)=cosα-cosβ；④cos70°cos10°+sin70°sin10°=.其中正确命题为________________.思路分析：①式错误;② 式正确.③ 式错误,④ 式正确,逆用两角差的余弦公式即可.答案:②④各个击破类题演练 1已知 sinα=,cosβ=-,α、β 均为第二象限角,求 cos(α-β).解：由 sinα=,α 为第二象限角,∴cosα=.又由 cos...
