第三章 三角恒等变换3
1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1
1 两角差的余弦公式[目标] 1
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2
掌握两角差的余弦公式及其应用．[重点] 两角差的余弦公式的掌握及灵活应用．[难点] 两角差的余弦公式的推导．知识点一 运用向量的数量积推导公式 [填一填]在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α，β，它们的终边与单位圆 O的交点分别为 A，B，则OA＝(cosα，sinα)，OB＝(cos β ， sin β ) ． 由向量数量积的坐标表示，有OA·OB＝cos α cos β ＋ sin α sin β
设OA与OB的夹角为 θ，则OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ＝cos α cos β ＋ sin α sin β
[答一答]1．如图，在直角坐标系 xOy 中，单位圆 O 与 x 轴交于 P0，以 Ox 为始边分别作出角 α ，β，α－β，其终边分别和单位圆交于 P1，P2，P3
由|P0P3|＝|P2P1|，你能推导出两角差的余弦公式吗
提示：易知 P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则P0P3＝(cos(α－β)－1，sin(α－β))，P2P1＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，又|P0P3|＝|P2P1|，即|P0P3|2＝|P2P1|2，所以[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2，化简得 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
知识点二 两角差的余弦公式 [填一填]1．公式：cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β
2．简记符号：C(α－β)．3．使用条件：α，β 都是任意角．[答一答]2．两角差
