第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式[目标] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.掌握两角差的余弦公式及其应用．[重点] 两角差的余弦公式的掌握及灵活应用．[难点] 两角差的余弦公式的推导．知识点一 运用向量的数量积推导公式 [填一填]在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α，β，它们的终边与单位圆 O的交点分别为 A，B，则OA＝(cosα，sinα)，OB＝(cos β ， sin β ) ． 由向量数量积的坐标表示，有OA·OB＝cos α cos β ＋ sin α sin β .设OA与OB的夹角为 θ，则OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ＝cos α cos β ＋ sin α sin β .[答一答]1．如图，在直角坐标系 xOy 中，单位圆 O 与 x 轴交于 P0，以 Ox 为始边分别作出角 α ，β，α－β，其终边分别和单位圆交于 P1，P2，P3.由|P0P3|＝|P2P1|，你能推导出两角差的余弦公式吗？提示：易知 P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则P0P3＝(cos(α－β)－1，sin(α－β))，P2P1＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，又|P0P3|＝|P2P1|，即|P0P3|2＝|P2P1|2，所以[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2，化简得 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.知识点二 两角差的余弦公式 [填一填]1．公式：cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .2．简记符号：C(α－β)．3．使用条件：α，β 都是任意角．[答一答]2．两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？提示：公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．3．两角差的余弦公式能不能按照分配律展开呢？提示：两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，不能按照分配律 cos(α－β)＝cosα－cosβ 展开．4．求值：cos75°cos15°－sin255°sin15°＝.解析：cos75°cos15°－sin255°sin15°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.类型一 两角差余弦公式的正用与逆用 [例 1] 化简求值：(1)cos75°；(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.[解] (1)cos75°＝cos(120°－45°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°＝－×＋×＝.(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝.(3)原式＝...
