3.1.1 两角差的余弦公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法 1(向量法)：把 cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量 的 数 量 积 来 研 究 . 如 图 3-1-2 ， 设 α 、 β 的 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于 点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)，由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数，所以我们只需考虑 0≤α-β＜π 的情况.图 3-1-2 设向量 a==(cosα,sinα)，b==(cosβ,sinβ)，则 ab=|a|·|b|·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有 a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.于是对于任意的 α、β 都有上述式子成立.图 3-1-3 推导方法 2(三角函数线法)：设 α、β、α-β 都是锐角，如图 3-1-3，角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β；过点 P 作 PM⊥x 轴于 M，则 OM 即为 α-β的余弦线.在这里，我们想法用 α、β 的三角函数线来表示 OM；过点 P 作 PA⊥OP1于 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 OA 表示 cosβ，AP 表示 sinβ，并且∠ PAC=∠P1Ox=α, 于 是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα, 即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.2.公式的结构特征记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式 Cα-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角 α、β 的弦函数值，求 cos(α-β)的值. 由 cos(α-β)的展开式可知要求 cos(α-β)的值，只需求得 α、β 的正弦值与余弦值即可.其中 sinα、cosα，sinβ、cosβ 都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos 30°=.误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即 cos(α±β)≠cosα±cosβ.典题•热题知识点一 已知角 α、β 的三角函数值，求 cos(α-β)的值例 1 已知 sinα=，α∈(,π),求 cos(-α)的值.思路分析：由于是特殊角，根据...
