1 两角差的余弦公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1
推导方法 1(向量法)：把 cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量 的 数 量 积 来 研 究
如 图 3-1-2 ， 设 α 、 β 的 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于 点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)，由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数，所以我们只需考虑 0≤α-β＜π 的情况
图 3-1-2 设向量 a==(cosα,sinα)，b==(cosβ,sinβ)，则 ab=|a|·|b|·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有 a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
于是对于任意的 α、β 都有上述式子成立
图 3-1-3 推导方法 2(三角函数线法)：设 α、β、α-β 都是锐角，如图 3-1-3，角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β；过点 P 作 PM⊥x 轴于 M，则 OM 即为 α-β的余弦线
在这里，我们想法用 α、β 的三角函数线来表示 OM；过点 P 作 PA⊥OP1于 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 OA 表示 cosβ，AP 表示 sinβ，并且∠ PAC=∠P1Ox=α, 于 是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα, 即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
公式的结构特征记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反
两角差的余弦公式 Cα-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数
