高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高二必修4数学学案

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦公式[目标] 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式并能利用公式进行化简求值． 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征． 3.能逆用公式进行化简求值．[重点] 熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式．[难点] 灵活运用公式化简三角函数式和求值．知识点 两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式[填一填][答一答]1．两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别？提示：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．2．(1)已知 cosα＝－，α 是第三象限的角，则 cos＝－.(2)化简 sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝1.解析：(1)因为 cosα＝－，α 是第三象限的角，所以 sinα＝－＝－＝－，所以 cos＝cosαcos－sinαsin＝－×＋×＝－.(2)sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.类型一 公式的正用、逆用及变形应用 [例 1] (1)cos105°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°.[解] (1)原式＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝×－×＝.(2)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.解答这类题目时，多数是两角和与差公式的逆用，公式的逆用是三角式变形的重要手段，它可以将含多个三角函数式的式子变形为只含一个三角函数式的式子.另外，在逆用公式时，要通过诱导公式的变形，使之符合公式的特征，有时还需把三角函数式的系数作为特殊值化为特殊角，有时还需把和差角公式变形应用.[变式训练 1] (1)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( D )A．－ B．C．－ D．(2)sin15°＋sin75°的值是.解析：(1)原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝.(2)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝.类型二 条件求值 [例 2] 已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求 cos2α 的值．[分析] →→[解] <β<α<π，∴－π<－β<－.∴0<α－β<，π<α＋β<π.∴sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝...