第 2 课时 两角和与差的正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1[基础自测]1．思考辨析(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )(2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )(3)tan(α＋β)＝等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )[解析] (1)√.当 α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是 α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当 α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以 1－tan αtan β 可得后一个式子．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知 tan α＝2，则 tan＝________.－3 [tan＝＝＝－3.]3．＝________. [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.][合 作 探 究·攻 重 难]两角和与差的正切公式的正用 (1)已知 α，β 均为锐角，tan α＝，tan β＝，则 α＋β＝________.(2)如图 312，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则 tan∠BAC＝________.图 312[思路探究] (1)先用公式 T(α＋β)求 tan(α＋β)，再求 α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD 的正切值，再依据 tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1) (2) [(1) tan α＝，tan β＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1. α，β 均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2) AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.][规律方法] 1.公式 T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式 T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根...
