3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较 cos(α-β)与 cos(α+β)，根据 α+β 与 α-β 之间的联系：α+β=α-(-β)，则由 两 角 差 的 公 式 得 cos(α+β)=cos ［ α-(-β) ］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得 这种以-β 代 β 的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式 C(α-β)中，因为角 α、β 是任意角，所以在C(α+β)中，角 α、β 也是任意角.2.用两点间的距离公式推导 C(α+β).图 3-1-5 如图 3-1-5，在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 O 为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，作出角 α、-β，使角 α、-β 的终边分别交单位圆于点 P2、P4，再以 OP2 为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点 P3，这样就出现了 α、β、α+β 这样的角，设角 α、-β的始边交单位圆于点 P1，则 P1(1，0).设 P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导 C(α+β).图 3-1-6 如图 3-1-6，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆，以 Ox 为始边作角 α、-β，它们与单位圆的交点分别为 A、B. 显然，=(cosα,sinα),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·= (cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.② 以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边...
