高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正余弦公式的应用【例 1】 求值:(1)cos75°;(2)sin;(3)sin(-).思路分析：想办法利用特殊角表示所求式中的角:(1)75°=45°+30°;(2) =-;(3)sin(-)=-sin,=+.解：（1）cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=·-·=；（2）sin=sin(-)=sincos-cossin=·-·=;(3)sin(-)=sin(+)=-(sincos+cossin)=-(·+·)=-.温馨提示 解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2．两角和与差的正余弦公式的灵活运用【例 2】 已知＜β＜α＜,cos(α-β)= ,sin(α+β)=-,求 sin2α 的值.解：由＜β＜α＜,得α-β∈(0, ),α+β∈(π, ).∴sin(α-β)=.cos(α+β)=.故 sin2α=sin［(α-β)+(α+β)］=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×(-)+×(-)=-.温馨提示(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解决时不必要的麻烦.(2)要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系,尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.(3)许多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确求出三角函数值.3.给值求角问题【例 3】已知 sinα=,sinβ=,且 α、β 为锐角.求 α+β 的值.思路分析：首先选择它的某一函数值,然后求角.解: sinα=,α 是锐角,∴cosα=.又 sinβ=,β 又是锐角,∴cosβ=.则 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=.又 sinα=＜,即 sinα＜sin, α 是锐角,∴0＜α＜.又 sinβ=＜,即 sinβ＜sin,β 是锐角.∴0＜β＜.∴0＜α+β＜.∴α+β=.温馨提示 三角函数中求角的问题,一般方法是:(1)求这个角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围. 解这类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,致使求出的角不适合题意.各个击破类题演练 1不查表求 cos105°和 sin的三角函数值.解：cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=·-·=.sin=sin(π+)=-sin=-sin(-)=-(sincos-cossin)=·-·=.变式提升 1求下列各式的值：（1）cos80°cos35°+cos10°cos55°;(2)sin75°-sin15°.解析：(1)原式=cos80°c...