3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例 1】 已知 tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求 tan2α,tan2β,tan(2α+).思路分析：想办法利用已知条件中的角 α+β 与 α-β 表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+)用 tan2α 表示出来.解：tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］=tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］=tan(2α+)=.2．两角和与差的正切公式的运用【例 2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°;(2);(3);(4);(5)解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=====2-+2+=4;(2)原式==tan(45°-15°)=tan30°=;(3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=;(4)原式=tan［(α+)-(α+)］=tan=;(5)原式==tan(-)=tan=1.3.给值求角问题【例 3】 已知 α,β,γ 都是锐角，且 tanα=,tanβ=,tanγ=,求 α+β+γ 的值.错解:因为 tan(α+β)==tan(α+β+γ)==1.∵α、β、γ 都是锐角，∴0＜α+β+γ＜,故：α+β+γ=或.正解:因为 tan(α+β)=.tan［(α+β)+γ］=1.由已知 γ＜β＜α.又因 0＜＜,所以 0＜γ＜β＜α＜,得 0＜α+β+γ＜.故 α+β+γ=.各个击破题演练 1已知 tanx=,tany=-3,求 tan(x+y)的值.解：tan(x+y)=变式提升 1已知 tanα=,tanβ=,求 tan(α+2β).解：tan(α+β)=,tan(α+2β)=tan［(α+β)+β］==1.类题演练 2利用和(差)角公式化简:(1)；(2).解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tanθ.(2)原式==tan(-θ).变式提升 2 (1)求 tan50°-tan20°-tan50·tan20°的值.解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan20°-tan50°·tan20°=tan30°(1+tan50°tan20°)-tan50°·tan20°=tan30°+tan30°·tan50°tan20°-tan50°·tan20°=tan30°=.(2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan［(18°-x)+(12°+x)］=.∴tan(18°-x)+tan(12°+x)=［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］.∴原式=1.温馨提示 tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有 tanα+tanβ 或 tanα-tanβ,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效.类题演练 3已知 α、β 都是锐角,且 tanα=,tanβ=,求 α+β.解：tan(α+β)==∵α、β 均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升 3已知 tanα=(1+m),(tanα·tanβ+m)+tanβ=0,且 α、β 都是锐角，求 α+β.解：由已知可得tanα=+m,①tanβ=-tanαtanβ-m.②由①+② 可得tanα+tanβ=(1-tanαtanβ),∴=tan(α+β)=.又∵0＜α＜,0＜β＜,∴0＜α+β＜π,∴α+β=.
