高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例 1】 求证:（1+tanx·tan）=tanx.思路分析： 本题的目标是把等式的左端统一成角 x 的正切函数 .可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan=.证法 1：左端=（1+)=sinx（1+）==tanx=右端.证法 2：左端===tanx=右端.温馨提示 证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法 ，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例 2】 已知函数 f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（1）求 f（x）的最小正周期；（2）若 x∈［0，］，求 f（x）的最大值，最小值.解：（1）因为 f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以 f（x）的最小正周期 T=2=π.（2）因为 0≤x≤，所以≤2x+≤.当 2x+=时，cos（2x+）取得最大值；当 2x+=π 时，cos（2x+）取得最小值-1.所以 f（x）在［0，］上的最大值为 1，最小值为.温馨提示（1）将 cos2x-sin2x 变形为 sin（-2x），也会有同样的结果;（2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为 y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ 均为常数，A＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例 3】 已知函数 f（x）=sin2x+sinxcosx（1）求 f（）的值；（2）设 α∈（0，π），f（）=-，求 sinα 的值解：（1） sin=，cos=，∴f（）=-3sin2+sincos=0（2）f（x）=cos2x-+sin2x∴f（）=cosα+sinα-=-，16sin2α-4sinα-11=0解得 sinα=. α∈（0，π），∴sinα＞0故 sinα=温馨提示 要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练 1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin4α.证法 1： 左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos22α-4cos2α=2（cos22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin2α）2=8sin4α=右边.∴等式成立.证法 2：右边=2×4sin4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos22α）=2-4cos2α+2cos22α=2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升 1求证:证明：左边====2cos2θ（sin2θ+cos2θ）右边====2cos2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练 2设函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+α，（1）写出函数...