高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（第1课时）课堂探究学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换（第 1 课时）课堂探究探究一 应用半角公式求值已知 θ 的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．【典型例题 1】 已知 sin θ＝，且<θ<3π，求 sin，cos，tan．思路分析：已知条件中的角 θ 与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．解：∵sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－．∵<<，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－，tan＝＝2．探究二 三角函数式的化简1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；(2)降幂或升幂．【典型例题 2】 化简： (180°<α<360°)．思路分析：化 α 为，消去数值 1，再升幂判断的范围，然后化简得结论．解：原式＝＝＝．又∵180°<α<360°，∴90°<<180°．∴cos<0．∴原式＝＝cos α．探究三 辅助角公式的应用将三角函数 y＝f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m 的步骤：(1)将 sin xcos x 运用二倍角公式化为sin 2x，对 sin2x，cos2x 运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用 asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m 的形式．【典型例题 3】 将下列三角函数解析式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的形式．(1)f(x)＝2cos－1；(2)f(x)＝2coscos＋2sin xcos x．解：(1)f(x)＝2sincos＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝2＝2sin．(2)f(x)＝2＋sin 2x＝ (cos x－sin x)(cos x＋sin x)＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin．探究四 三角恒等式的证明1．恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等．(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．【典型例题 4】 求证：tan－tan＝．思路分析：可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到 x＝－，2x＝＋，从而消除等式两边角的差异．证法一：tan－tan＝－＝＝＝＝＝．证法二：＝＝＝－＝tan－tan．