高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（第1课时）预习导航学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换（第 1 课时）预习导航课程目标学习脉络1．体会倍角公式的变形及得出的半角公式．2．熟练掌握 asin x＋bcos x 的变形及性质，并能应 用于三角函数式的化简、求值等问题中． 1．半角公式(不要求记忆)sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝．符号由所在的象限决定．思考 半角公式根号前的符号如何确定？提示：确定半角的正弦、余弦、正切表示式前符号的原则：(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；(2)若给出 α 的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号；(3)如给出的 α 是某一象限的角时，则根据下表决定符号：αsincostan第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－、＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－2．常见的三角恒等变换(1)asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tan φ＝，φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定．这个公式也叫做辅助角公式．(2)sin2x＝，cos2x＝，sin xcos x＝sin_2 x ．名师点拨 几种常见的三角变换技巧：(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换．(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称，转化为正弦、余弦的恒等变换．(3)降幂与升幂由 C2α变形后得到公式：sin2α＝ (1－cos 2α)，cos2α＝ (1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，α＝ [(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α 等．(5)配方法如 1±sin α＝2，4sin2α－4sin α＋1＝(2sin α－1)2．(6)换元法利用公式中角的任意性，根据需要变换角的形式．例如由 Cα－β推出 Cα＋β，再推出 C2α等．(7)公式的逆用和变用灵活逆用和变用公式可以丰富三角恒等变换的方法．例如：T(α＋β)，可变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)或 asin α＋bcos α＝cos(α－φ)实为 S(α＋β)(或 C(α－β))的逆用．