高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（第2课时）课堂探究学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换（第 2 课时）课堂探究探究一 三角函数问题中的三角恒等变换解答此类问题时，先将原函数通过两角和、差的正、余弦公式及二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等把原函数式转化为“一次一角一函数”的形式，即化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式，再求相关性质．【典型例题 1】 函数 f(x)＝2sin xsin 的值域是__________．解析：f(x)＝2sin xsin ＝2sin x ＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－.又－1≤sin≤1，∴－≤f(x)≤.∴f(x)的值域为.答案：【典型例题 2】 已知函数 f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－ (ω>0)，其最小正周期为.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)求 f(x)的单调递增区间．思路分析：运用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式将原函数式化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求解．解：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.由题意知 f(x)的最小正周期 T＝，∴T＝＝＝，∴ω＝2.∴f(x)＝sin.(2)令 2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得－≤x≤＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.探究二 三角恒等变换在实际中的应用利用三角变换解决生活中的实际问题时，首先要认真分析，善于设参，找出关系，建立数学模型，将难以入手的实际问题化为较容易的数学问题，并且要注意参数的取值范围．【典型例题 3】 已知点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四边形 ABTP 的面积最大？思路分析：解答本题应先画图，再用变量 α 表示四边形 ABTP 的面积，最后利用三角公式求最值，得出 α 的值．解：如图所示， AB 为直径，∴∠APB＝90°.又 AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α.又 PT 切圆于 P 点，∴∠TPB＝∠PAB＝α.∴S 四 边 形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α＋ (1－cos 2α)＝ (sin 2α－cos 2α)＋＝sin＋. 0<α<，∴－ <2α－<.∴当 2α－＝，即 α＝时，S 四边形 ABTP最大．探究三 易错辨析易错点：错用两角差的正弦公式【典型例题 4】 已知函数 f(x)＝cos 2x－sin 2x，求 f(x)图象的对称轴方程．错 解 ： f(x) ＝ cos 2x －sin 2x ＝ 2 ＝ 2sin .令 2x－＝kπ＋，k∈Z，解得 x＝＋，k∈Z，∴f(x)图象的对称轴方程为 x＝＋，k∈...