3.2 简单的三角恒等变换课堂导学三点剖析1.熟练掌握三角函数的有关公式,进行简单的三角恒等变换【例 1】 化简:-sin2θ-cos2θ思路分析:首先将切化弦,然后统一角,将 2θ 化为 θ 角的三角函数.解:原式=-sin2θ-cos2θ=-sin2θ-cos2θ=-sin2θ-cos2θ=-sin2θ-cos2θ=cosθ（2sinθ+4cosθ）-sin2θ-cos2θ=sin2θ+4cos2θ-sin2θ-cos2θ=3cos2θ.温馨提示 代数式的化简，主要形式有消元、降次、约分等，在三角函数中要通过角变换，名变换，式变换为消元、降次、约分等创造条件，本题就是通过切化弦减少了函数种类，通过角度统一，减少角的个数，为化简铺平道路.2.正确地选择公式，从整体上把握变换过程【例 2】已知 π＜α＜，化简思路分析:根式化简应升幂去根号，分式化简应化积后约分.解:∵π＜α＜,∴＜＜.利用半角公式得|cos|=-2cos,|sin|=2sin.原式==.温馨提示 解决本题的关键是利用 1+cosα=2cos2与 1-cosα=2sin2升幂,去掉根号,问题获解.3.熟悉三角公式的结构特征、化式成立的条件及挖掘题目中的隐含条件【例 3】 已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tanβ=-,求 sin(2α-β)的值.思路分析:∵2α-β=(α-β)+α,可先求 α 的三角函数.解:tanα=tan［(α-β)+β］=,∴tan2α==,tan(2α-β)==1.∵α,β∈(0,π),∴-π＜2α-β＜2π,由 tan(2α-β)=,得 cos(2α-β)=sin(2α-β).又∵sin2(2α-β)+cos2(2α-β)=1,∴2sin2(2α-β)=1,解得 sin(2α-β)=±.∵tanα=,α∈(0,π),∴0＜α＜,∴0＜2α＜.又∵tanβ=-,β∈(0,π),∴＜β＜π.∴-π＜2α-β＜0,∴sin(2α-β)=-.温馨提示 挖掘本题中的隐含条件,由正切值可以使用的范围缩小,本题易忽略缩小角的范围而出错.各个击破类题演练 1化简：解===1.变式提升 1证明 2sin4x+sin22x+5cos4x-cos4x-cos2x=2（1+cos2x）.证明：左边=2（）2+（1-cos22x）+5（）2-（2cos22x-1）-cos2x=3+cos2x.右边=2（1+）=3+cos2x，∴左边=右边.∴原式成立.类题演练 2求证=(tan+1).证明:左边===(tan+1).∴等式成立.变式提升 2求的值;解:原式===类题演练 3已知 tanα=,tanβ=,并且 α、β 均为锐角，求 α+2β.解:∵tanβ=,∴tan2β=.∴tan(α+2β)==1.∵0＜tanα=＜1,0＜tanβ=＜1,α、β 均为锐角，∴0＜α＜，0＜β＜，0＜2β＜.∴0＜α+2β＜，又 tan（α+2β）=1.∴α+2β=.变式提升 3若 α、β 为锐角，且 3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=.证 明 : 根 据 已 知 条 件 有 3sin2α=1-2sin2β=cos2β, 又 3sin2α=2sin2β, 有 sin2β=sin2α=3sinαcosα.∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sina·3sinαcosα=0.①又 0＜α＜,0＜β＜,∴0＜α+2β＜,由①得 α+2β=.
