高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换知识导航学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.2 简单的三角恒等变换知识梳理一、半角公式的推导半角公式的推导过程如下表：二、关于 asinx+bcosx 形式的化简教材上仅以一个例题的方式给出了这种变形，要求我们对此类变形要熟练地化成Asin(ωx+φ)或 Acos(ωx+φ)的形式，理解此种变形的方法与依据。它的实质是逆用了两角和与差的正余弦公式将数值看成了特殊角的三角函数值得来的.在三角函数的化简、求周期、最值、单调区间等方面起着重要的作用.三、关于和差化积、积化和差推导1.积化和差公式推导教材仅推了第一个，下面给出公式的全部推导过程：由于 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.④①+②,得 sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;①-②,得 cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;④+③,得 cosαcosβ=［cos（α+β）+cos(α-β)］；④-③,得 sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］.2.和差化积公式推导在积化和差公式中，如果“从右往左”看就是和差化积.令 α+β=θ,α-β=φ,则 α=,β=.代入第一个积化和差公式，可得 sinθ+sinφ=2sin·cos.同理可得 sinθ-sinφ=2cossin;cosθ+cosφ=2coscos;cosθ-cosφ=-2sinsin.知识导学 要学好本节内容，要以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，注意体会三角恒等变换的特殊性.半角公式，虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用.关于和差化积、积化和差这两组公式要了解它们的推导过程，体会其中用到的换元与方程的思想.课本上虽然不要求记忆，但如果能记住会用，在解某些题目时会少绕弯路，起到事半功倍的效果.疑难突破1.代数式变换与三角变换有何异同？剖析：三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想.从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点.相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换.由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的...