高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数 f(x)在区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数 f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点 x0，则 f(x0)是函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )(4)函数 f(x)＝在区间[－1,1]上有最值． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0 C．2 D．4C [f′(x)＝3x2－6x，令 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝2.由 f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0 得 f(x)max＝f(0)＝2.]3．函数 y＝x－sin x，x∈的最大值是( ) 【导学号：97792160】A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1C [y′＝1－cos x>0，故函数 y＝x－sin x，x∈是增函数，因此当 x＝π 时，函数有最大值，且 ymax＝π－sin π＝π.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的最值 求下列各函数的最值．(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．[解] (1)f′(x)＝6x2－6x－12，令 f′(x)＝0 得 x＝－1 或 x＝2，又 x∈[－2,1]，故 x＝－1，且 f(－1)＝12.又因为 f(－2)＝1，f(1)＝－8，所以，当 x＝－1 时，f(x)取最大值 12.当 x＝1 时，f(x)取最小值－8.(2) f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)． 在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2；x＝5 时，函数 f(x)取得最小值...