第 2 课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．知识点一 向量法判断线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b ＝ 0 ⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 .知识点二 向量法判断线面垂直设 直 线 l 的 方 向 向 量 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平 面 α 的 法 向 量 μ ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则l⊥α⇔a∥μ⇔a ＝ k μ ( k ∈ R ) ．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面 α，β 的法向量分别为 μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面 α，β 垂直的关系式是什么？答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面 α 的法向量为 μ＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量为 v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 .(1)平面 α 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)类型一 线线垂直问题例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直证明 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得 A，B，C，N，B1， M 为 BC 中点，∴M.∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练 1 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直证明 直三棱柱 ABC－A1B1C1 底面三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，C...
