3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课堂探究探究一 利用向量方法判定线、面的位置关系解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．【典型例题 1】 (1)设 a，b 分别是两条不重合的直线 l1，l2的方向向量，根据下列条件判断 l1，l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设 u，v 分别是两个不重合的平面 α，β 的法向量，判断 α，β 的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝；②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设 u 是 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，判断 α，l 的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解：(1)① a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.② a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)① u＝(1，－1,2)，v＝，∴u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.② u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)① u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝0，∴u⊥a，∴l∥α 或 lα.② u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.探究二 平面法向量的求法求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可．【典型例题 2】 已知三点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量．1思路分析：设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平面 ABC 内的任意向量，不妨取AB，BC，然后将向量垂直转化为数量积为 0，求得 n.解：设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，由题意得AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)．因为 n⊥AB，n⊥BC，所以令 x＝1，得 y＝z＝1，所以平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．归纳求法向量的步骤为：(1)设法向量 n＝(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建立方程组(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量．探究三 利用向量法证明空间中的平行关系用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间...
