3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示预习导航课程目标学习脉络1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理.1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A 为起点作向量AP＝ta，这时点 P的位置被 t 的值完全确定．当 t 在实数集 R 中取遍所有值时，点 P 的轨迹是通过点 A 且平行于向量 a 的一条直线 l ，向量 a 称为该直线的方向向量．(2)空间直线的向量参数方程点 A 为直线 l 上的一个定点，a 为直线 l 的一个方向向量，点 P 为直线 l 上任一点，t 为一个任意实数，以 A 为起点作向量AP＝ta.①对空间任一个确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t，满足等式OP＝OA＋ta.②如果在 l 上取AB＝a，则②式可化为OP＝OA＋tAB＝OA＋t(OB－OA)，即OP＝(1－t)OA＋tOB.③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．(3)线段 AB 的中点 M 的向量表达式设 O 是空间任一点，M 是线段 AB 的中点，则OM＝(OA＋OB)．思考 1 空间一条直线的方向向量唯一吗？提示：不唯一．12．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2或 l1与 l2重合 v1∥v2.(2)直线与平面平行已知两个不共线向量 v1，v2与平面 α 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则 l∥α 或l 在 α 内 存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量 v1，v2与平面 α 共面，则 α∥β 或 α 与 β 重合 v1∥β，且v2∥β.思考 2 如何用向量的方法证明空间中的平行关系？提示：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量 a∥b，即 a＝λb(λ∈R)．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3．用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为 θ，则直线方向向量间的夹角与 θ 相等或互补；(2)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2...
