3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课堂导学三点剖析一、直线的方向向量 【例 1】如下图,四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为CD、PB 的中点.求证:EF⊥平面 PAB.分析：此题是立体几何的一个综合题型,运用全等三角形和三垂线定理也可以证明,但思路不易找出,作辅助线较多,容易在解题中受阻,而出错,甚至放弃,此题若用空间直角坐标系和向量知识,很易解决.证明：以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如下图所示的直角坐标系.设 E(a,0,0),其中 a>0,则 C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a, 21 , 21 ).EF =(0, 21 , 21 ),PB=(2a,1,-1),AB=(2a,0,0).EF·PB=0，所以EF⊥PB即EF⊥PB.AB·EF=0,所以EF⊥AB即 EF⊥AB.又 PB平面 PAB,AB平面 PAB,PB∩AB=B,所以 EF⊥平面 PAB,命题得证.温馨提示 坐标运算证明向量垂直的关键在于建立适当的坐标系并且正确的求出坐标.二、平面的法向量【例 2】在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，求证：1DB 是平面 ACD1的法向量.1证明：不妨设正方体的棱长为 1,建立如右图所示的空间直角坐标系 D—xyz,则各点的坐标为A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1).所以1DB =(1,1,1),AC=(-1,1,0),1AD =(-1,0,1)因为1DB · AC =1×(-1)+1×1+1×0=0，所以1DB ⊥ AC .同理1DB ⊥1AD .又 AC∩AD1=A,所以1DB ⊥平面 ACD1,从而1DB 是平面 ACD1的法向量.温馨提示 利用平面法向量证垂直平行问题.三、直线、平面向量的应用【例 3】 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为底面 ABCD 的中心，求证：B1O⊥平面PAC.证 明 ： 建 立 如 右 图 所 示 坐 标 系 ， 不 妨 假 定 正 方 体 每 边 长 为 2 ， 则A（ 2 ，0，0），P （ 0，0 ，1），C （0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）.于 是1OB =(1,1,2), AC =(-2,2,0), AP =(-2,0,1). 由 于1OB · AC =-2+2=0, 及1OB ·AP=-2+2=0，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.∴OB1⊥平面 PAC.2温馨提示 立体几何中的向量方法——“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系.(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.各个击破类题演练 1如右图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为 22，侧棱长为 4,E、F 分别为棱 AB、B...
