高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案VIP专享

3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例 1】 已知四棱锥 P-ABCD（如右图），底面是边长为 2 的正方形.侧 棱 PA⊥底面ABCD，PA=a,M、N 分别为 AD、BC 的中点，MQ⊥PD 于 Q.(1)直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为33 .求 PA 的长；(2)PA=2,求 PM 与平面 PCD 所成角的正弦值.解：(1) PC=（2，2，-a），平面 PBA 的一个法向量为 n= AM=(0,1,0). 直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为33 ，∴|cos〈 PC,n〉|=33 ,即33|010)(222|222222a∴a=2,即 PA=2.(2) PM=（0，1，-2），OP=（0，-2，2）， DC（2，0，0）.设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,1),则.01002,012)2(0yxDCnyxOPn解得.1,0yx∴n=(0,1,1).∴cos〈 PM ,n〉=1010251.∴PM 与平面 PCD 所成角的正弦值为1010 .1温馨提示 最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置.二、利用三垂线定理求线面角【例 2】 如右图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E是 PC 的中点.(1)证明：PA∥平面 EDB；（2）求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. (1)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 O.连结 EO. 底面 ABCD 是正方形，∴点 O 是 AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO.而 EO平面 EDB 且 PA平面 EDB.所以,PA∥平面 EDB.(2)解：作 EF⊥DC 交 DC 于 F.连结 BF.设正方形 ABCD 的边长为 a, PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥DC.∴EF∥PD,F 为 DC 的中点.∴EF⊥底面 ABCD,BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角.在 Rt△BCF 中,BF=aaaCFBC25)2(2222. EF= 21 PD= 2a ,∴在 Rt△EFB 中,tan∠EBF=55 ,则 BE 与面 ABCD 所成角的正切值为55 .温馨提示 解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷.三、利用向量求线面角【例 3】 如右图所示的正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，AA1∶AB=2∶1,E、F 分别为面 A1C1和面 BC1的中心.求2（1）异面直线 CE 与 AF 所成的角；（2）A1F 与平面 BCC1B1所成的角；解：如右图，以 D 为原点，DA 为 Ox 轴正方向，DC 为 Oy 轴正方向，DD1为 Oz 轴正方向建立空间直角坐标系. A1A∶AB=2∶1, 可 设AB=2 ， 由 此 得 到 ...