3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量课堂探究探究一 用定义法求直线与平面所成的角利用定义法求直线与平面所成的角，首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小．其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”．【典型例题 1】 在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 的中点，连接 CE，求 CE 和平面 BCD 所成角的正弦值．思路分析：在求解斜线和平面所成的角时，确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题．解：如图，过 A，E 分别作 AO⊥平面 BCD，EG⊥平面 BCD，O，G 为垂足．则 AO∥GE，AO＝2GE.连接 GC，则∠ECG 为 EC 和平面 BCD 所成的角．因为 AB＝AC＝AD，所以 OB＝OC＝OD.因为△BCD 是正三角形，所以 O 为△BCD 的中心．连接 DO 并延长交 BC 于 F，则 F 为 BC 的中点．令正四面体 ABCD 的棱长为 1，可求得 CE＝，DF＝，OD＝，则 AO＝＝＝，所以 EG＝.在 Rt△ECG 中，sin∠ECG＝＝.归纳找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．探究二 向量法求直线与平面所成的角1利用向量法求直线与平面所成角的优势在于不用找角，只需求出直线的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量 s 和平面的法向量 n；(3)设线面角为 θ，由 sin θ＝得出 θ 的值，需注意的是 θ 的范围是.【典型例题 2】 如图所示，在直三棱柱 ABOA1B1O1中，OO1＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D 是线段 A1B1的中点．P 是侧棱 BB1上的一点，若 BD⊥OP，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)思路分析：由于题中所给图形是直三棱柱，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解．解：如图所示，以 O 点为原点，OB，OA，OO1为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意有 O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)．设 P(3,0，z)，则BD＝，OP＝(3,0，z)．因为 BD⊥OP，所以BD·OP＝－＋4z＝0，所以 z＝.因为平面 PBO⊥平面 ABO，所以 OB 为 OP 在平面 ABO 内的射影，所以∠POB 为 OP 与平面ABO 所成的角．又因为 BB1⊥平面 AOB，所以BB1是平面 AOB 的一个法向量，且BB1＝(0,0,4)，所以 sin∠POB＝|cos∠BPO|＝＝＝.所以 OP 与底面 A...
