3.2.4 二面角及其度量课堂导学三点剖析一、利用三垂线定理及逆定理作二面角的平面角【例 1】 三棱锥 S-ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= 13 ,SB=29 ,求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小.解： ∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥面 ABC.∴AC 为 SC 在底面 ABC 上的射影.又∠ACB=90°，∴SC⊥BC.∴∠SCA 为二面角 S-BC-A 的平面角.在 Rt△SCB 中，SC=4132922 BCSB.在 Rt△SAC 中，由 AC=2，SC=4，得cos∠SCA=21SCAC.∴∠SCA=60°.即侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 60°.温馨提示 本题考查三垂线定理、线面垂直的判定、二面角度数的计算.其解法提供了一个用三垂线定理及其逆定理来作二面角平面角的方法.其作法是：从半平面上一点 P 作另一个半平面的垂线段 PA，A 为垂足，由 P 向棱作垂直相交的直线 PB，B 为垂足，边 AB，则∠PBA 为所求二面角的平面角（也可由 A 作 AB 与棱垂直，连 BP），用这种作法就得寻找题目中有没有半平面的垂线、有没有棱的垂线，看能不能可利用.二、利用定义求二面角平面角【例 2】在四面体 S-ABC 中，已知 SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC、SC 于D、E，又 SA=AB，SB=BC，求以 BD 为棱，以△BDE 与△BDC 为面的二面角的大小.分析：求二面角的大小，关键是找出二面角的平面角，利用题设条件，结合线面垂直和线线垂直的有关定理即可确定所求二面角的平面角，并在相应的三角形中求出其大小.解： SB=BC 且 E 是 SC 的中点（如右图），1∴SC⊥BE，又已知 SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥平面 BDE.∴SC⊥BD.又 SA⊥底面 ABC，BD面 ABC，∴SA⊥BD.而 SA∩SC=S，∴BD⊥平面 SAC. 面 SAC∩面 BDE=DE，∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC 为所求二面角的平面角. SA⊥底面 ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，设 SA=a，则 AB=a,BC=SB=2a,又 AB⊥BC，∴AC= 3 a,在 Rt△SAC 中，tan∠ACS3331 ACSA，∴∠ACS=30°.又已知 DE⊥SC，∴∠FDC=60°，即所求二面角的大小为 60°.温馨提示 求作二面角的平面角的方法较多，本题采用的实质上找到一个与棱 BD 垂直的平面 EDC，而此时正好 DE、DC 分别在二面角的两个面上,由此根据平面角定义便知，∠EDC 为二面角的平面角.三、利用向量求二面角的平面角【例 3】 如右图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 m 的正方形，侧棱AA1的长为 n,且∠A1...
