3.2.5 距离（选学）课堂探究探究一 用向量求两点间的距离用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法，设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dAB＝|AB|＝，或利用|a|＝求解．【典型例题 1】 已知矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，沿对角线 AC 折叠，使平面 ABC 与平面ADC 垂直，求 B，D 间的距离．思路分析：本题既可利用向量模求解，也可建立坐标系利用距离公式求解．解法一：过 D 和 B 分别作 DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F，则由已知条件可知 AC＝5，∴DE＝＝，BF＝＝. AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝. DB＝DE＋EF＋FB，∴|DB|2＝(DE＋EF＋FB)2＝DE2＋EF2＋FB2＋2DE·EF＋2DE·FB＋2EF·FB. 平面 ADC⊥平面 ABC，DE⊥AC，∴DE⊥平面 ABC，∴DE⊥BF，即DE⊥FB，∴|DB|2＝DE2＋EF2＋FB2＝＋＋＝，∴|DB|＝.故 B，D 间距离是.解法二：过 D 作 DE⊥AC 于 E，过 B 作 BF⊥AC 于 F，过 E 作 FB 的平行线 EP，以 E 为坐标原点，EP，EC，ED 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．1由解法一知 DE＝FB＝，EF＝，∴D，B，∴DB＝，∴|DB|＝＝.探究二 求点到平面的距离利用点到平面的距离定义，求点到平面的距离，就是过点作平面的垂线，点与垂足间的线段长就是点到平面的距离，从而转化到可解三角形中求解．用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量 n 的坐标，再求出已知点 P与平面内任一点 M 构成的向量MP的坐标，那么 P 到平面的距离 d＝|MP|·|cos〈n，MP〉|.【典型例题 2】 直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱 AA1＝，在底面△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求点 B1到平面 A1BC 的距离．思路分析：直接作平面的垂线较困难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直三棱柱各顶点坐标：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，则A1B1＝(－1,1,0)，BC＝(0，－1,0)，A1C＝(－1,0，－)．设平面 A1BC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·A1C＝0，n·BC＝0，即－x－z＝0，－y＝0.令 x＝－，则 y＝0，z＝1，所以平面 A1BC 的一个法向量为 n＝(－，0,1)，所以点 B1到平面 A1BC 的距离 d＝＝.探究三 求平行平面之间的距离当两个平面互相平行时，其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等，且都等于这两个平行平面间的距离，因此，两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解．...
