高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.2.5 距离（选学）课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例 1】 棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，侧面是 PAB，PAC 都垂直于底面，另两侧面与底面成45°角，M、N 分别为 BC、CD 的中点，最长的侧棱为 15 cm.求：（1）棱锥的高；（2）底面中心 O 到平面 PMN 的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系. (1)设高为 h,由平面 PAB，平面 PAC 都垂直于底面，得 PA⊥底面 AC.又∠PBA=45°，∴PA=AB=h,AC=2h.由 PA2+AC2=PC2及 PC=15，得 PA=5 3 （cm）;(2) BD⊥AC，BD⊥PA，z∴BD⊥平面 PAQ.又 MN∥BD，∴MN⊥平面 PAQ，∴平面 PAQ⊥平面 PMN.做 OH⊥PQ 于 H，则 OH 之长即为所求.做 AG⊥PQ 于 G.在 Rt△PAQ 中，AQ=43 AC=423h,PQ=33422 AQPA.∴AG=17173PQAQPA h.再由31QAOQAGOH，得OH=31 AG=1717 h=17515(cm).温馨提示 由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识1往往成为正确解题的关键.二、通过转化求距离【例 2】如左下图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求平面 AB1D1与平面 C1BD 的距离. 解：如右上图，可证得 A1C⊥平面 AB1D1，A1C⊥面 C1BD.设 A1C 和平面 AB1D1及平面 C1BD 分别交于 P、Q 两点.则 PQ 就是两平行平面 AB1D1和平面 C1BD 的公垂线段.连结 A1C1交 B1D1于点 O1，连结 AC 交 BD 于点 O，由对角面 A1C1CA 与两平行平面 AB1D1和平面 C1BD 分别相交于 AO1和 C1O 知AO1∥OC1.由正方体的特性易计算对角面 A1C1CA 中，O1A1=22 a,A1A=a,A1C= 3 a,于是在Rt△AA1O1中，AO1=26 a.由面积关系得A1P=3326221111aaAOAAAO.同理可求得 CQ=33 a,∴PQ=A1C-2A1P= 3 a-332a=33 a.温馨提示 本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法，注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得 A1P=PQ，CQ=PQ 知 A1P=PQ=QC，即先证明 P、Q 两点三等分对角线 A1C 后再计算.该例还有多种解法.三、利用向量求距离【例 3】如下图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a.(1)求证：平面 B1AD1∥平面 BC1D；2（2）求平面 B1AD1与平面 BC1D 间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知 B1BDD1...