2.4.1 函数的零点课堂导学三点剖析一、考查函数零点的概念【例 1】求下列函数的零点.(1)f(x)=kx+b(k≠0);(2)f(x)=2x2-5x+2;(3)f(x)=x3+2x-3.思路分析：求函数的零点即是求 f(x)=0 的根，分解因式即可.解:(1)f(x)=k(x+),∴零点为.(2)f(x)=(x-2)(2x-1),∴零点为 2、.(3)f(x)=x3-1+2x-2=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x2+x+3)， x2+x+3=(x+)2+>0 恒成立，∴f(x)零点为 1.二、利用零点的性质求参数【例 2】函数 y=x2+2px+1 的零点一个大于 1，一个小于 1，求 p 的取值范围.思路分析：二次函数的零点即函数图象与 x 轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.解法一:记 f(x)=x2+2px+1，则函数 f(x)的图象开口向上，当 f(x)的零点一个大于 1，一个小于 1 时，即 f(x)与 x 轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，∴必有 f(1)<0,即 12+2p+1<0.∴p<-1.∴p 的取值为(-∞,-1).解法二:设 y=x2+2px+1 的零点为 x1、x2,则得 p<-1.三、应用函数零点【例 3】求证:方程 5x2-7x-1=0 的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.思路分析：证明方程 5x2-7x-1=0 的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.证明:设 f(x)=5x2-7x-1=0,则 f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于 f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且 f(x)=5x2-7x-1 的图象在 R 上是连续不断的,∴f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上分别有交点,即方程 5x2-7x-1=0 的根一个在(-1,0)内,另一个在(1,2)内.温馨提示 判断函数 f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算 f(x1)·f(x2)<0 是否成立外,还需考查函数的图象在(x1,x2)上是否连续不断.若判断根的个数问题,还需结合函数的单调性进行.各个击破类题演练 1求下列函数的零点.(1)f(x)=x3+1;(2)f(x)=.解析：(1)f(x)=(x+1)(x2-x+1),∴f(x)零点为-1.(2)f(x)=,令=0,得 x=-1.∴f(x)零点为-1.变式提升 1若 f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点 3,则函数 g(x)=bx2+3ax 的零点是_______.解析： f(x)=ax-b 的零点是 3,∴f(3)=0,即 3a-b=0,也就是 b=3a.∴g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).∴g(x)零点为-1,0.答案：-1,0类题演练 2已知函数 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点小于 1,另一个零点在 1 与 2 之间.求实数 a 的取值范围.解析：函数的大致图象如图,则即∴0
