2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法课堂导学三点剖析一、函数零点的性质【例 1】函数 f(x)=x3-2x2+3x-6 在区间［-2,4］上的零点必定在( )A.［-2,1］内 B.［,4］内C.［1,］内 D.［,］内解析：由于 f(-2)=-8-8-6-6=-28<0,f(4)=64-32+12-6=38>0,且 f()=f(1)=1-2+3-6=-4<0,∴零点在区间［1,4］内.又 f()=f()=+-6=-11>0,∴零点在区间［1,］内.又 f()=f()<0,∴零点在区间［,］内.∴选 D.答案：D二、求方程的近似解【例 2】求方程 2x3+3x-3=0 的一个实数解,精确到 0.01.思路分析：考查函数 f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.解:经试算,f(0)=-3<0,f(2)=19>0,所以函数 f(x)=2x3+3x-3 在［0,2］内存在零点,即方程 2x3+3x-3=0 在［0,2］内有解.取［0,2］的中点 1,经计算 f(1)=2>0,又 f(0)<0,所以方程 2x3+3x-3=0 在［0,1］内有解.如此下去,得到方程 2x3+3x-3=0 实数解所在区间如下表所示.左端点右端点第 1 次02第 2 次01第 3 次0.51第 4 次0.50.75第 5 次0.6250.75第 6 次0.68750.75第 7 次0.718750.75第 8 次0.7343750.75第 9 次0.7343750.7421875 0.742 187 5-0.734 375=0.007 812 5<0.01.∴x10==0.738 281 25≈0.74 为方程 2x3+3x-3=0 精确到 0.01 的一个实数解.三、函数零点的应用【例 3】已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c.(1)若 a>b>c 且 f(1)=0,证明 f(x)必有两个零点;(2)若对 x1、x2∈R 且 x1b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0.∴Δ=b2-4ac>0.∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根.故函数 f(x)有两个零点.(2) 令g(x)=f(x)［ f(x1)+f(x2) ］ , 则g(x1)=f(x1)［ f(x1)+f(x2) ］ =,g(x2)=f(x2)［f(x1)+f(x2)］=.∴g(x1)·g(x2)=［f(x1)-f(x2)］2. f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0.∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根.故 f(x)=［f(x1)+f(x2)］在(x1,x2)内必有一实根.各个击破类题演练 1函数 y=lgx的零点所在的大致区间是…( )A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)解析：代入验证,可知 f(9)=lg9-1<0,f(10)=1>0.∴f(9)·f(10)<0.答案：D变式提升 1下列各图中函数图象与 x 轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是( )解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而 B 中的零点是不变号零点...
