2．2.4 平面与平面平行的性质学习目标 1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题； 2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．知识点 平面与平面平行的性质观察长方体 ABCDA1B1C1D1的两个面：平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1.思考 1 平面 A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面 ABCD 吗？答案 是的．思考 2 若 m⊂平面 ABCD，n⊂平面 A1B1C1D1，则 m∥n 吗？答案 不一定，也可能异面．思考 3 过 BC 的平面交面 A1B1C1D1于 B1C1，B1C1与 BC 是什么关系？答案 平行.文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a ∥ b 图形语言类型一 平面与平面平行的性质定理的应用例 1 平面 α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB 与 CD 交于 S，且 AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.解 有 两种情况：S 位于 α、β 之间，和 S 位于 α、β 的同侧．(1)当 S 位于 α、β 之间时，如图，连接 AC，BD，AB∩CD＝S.设 AB，CD 共面 γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为 α∥β，所以 AC 与 BD 无公共点，所以 AC∥BD，所以△ACS∽△BSD，所以＝.设 CS＝x，则＝，所以 x＝16.当 S 位于 α，β 之间时，如上解答．(2)当 S 位于 α，β 同侧时，如图，AB∩CD＝S，设 AB，CD 共面 γ，因为 γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且 α∥β，所以 AC∥BD.所以△SAC∽△SBD，所以＝，即＝，所以 SC＝272.综上所述，SC＝16 或 272.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练 1 如图所示，平面 α∥平面 β，△ABC，△A′B′C′分别在 α，β 内，线段 AA′，BB′，CC′共点于 O，O 在平面 α 和平面 β 之间，若 AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．答案 解析 AA′，BB′相交于 O，所以 AA′，BB′确定的平面与平面 α，平面 β 的交线 AB，A′B′，有 AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为 9∶4，又△ABC 的面积为，所以△A′B′C′的面积为.类型二 平行关系的相互转化例 2 已知，平面 α∥平面 β，点 A∈α，C∈α，点 B∈β，D∈β，点 E、F 分别在线段 AB、CD上，且 AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.证明 ①当 AB，CD 在同一平面内时，如图，由 α∥β，α∩...
