2.3.1 平面向量基本定理互动课堂疏导引导1.平面向量基本定理的引入 如图 2-3-1,设 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究 a 与 e1、e2之间的关系.如图 2-3-2,在平面内任取一点 O，作=e1，=e2，=a.过点 C 作平行于的直线，与直线交于点 M；过点 C 作平行于的直线，与直线交于点 N.由向量的线性运算性质可知，存在实数 λ1、λ2，使=λ1e1,=λ2e2,由于=+，所以 a=λ1e1+λ2e2,即任一向量 a 都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1、e2表示出来.当 e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大方便. 图 2-3-1 图 2-3-22.平面向量基本定理如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a=λe1+λe2.我们把不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作=a，=b，则∠A=θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的夹角.如图 2-3-3图 2-3-34.两向量垂直如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们就说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.活学巧用1.如图 2-3-5,四边形 OADB 是以向量=a，=b 为邻边的平行四边形.又 BM=BC，CN=CD，试用 a、b 表示、、.图 2-3-5解析：=-=a-b，BM===a-b.∴=+=b+a-b=a+b.又∵=a+b，得==a+b,∴=-=a-b.答案：=a+b,=a+b, =a-b.2.如图 2-3-6,已知=，=，用、表示，则等于（ ）图 2-3-6A.+ B.-+C.-- D.-解析：=+=+=+（-）=+- =-+.答案：B
