2.3.1 平面向量基本定理课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例 1】 如右图所示，在平行四边形 ABCD 中，AH=HD，BF=MC=BC，设=a,=b,以a,b 为基底表示、、、.思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=b，这样可表示，又 =b，这样又可表示，进一步可表示 MH，进一步表示.解：由于 BF=BC=AD.∴=b.在△ABF 中,=+=a+b;又 BF=MC=BC，∴FM=BC.∴=b.则=+=a+b+b=a+b.又 AH=HD，∴=b.∴=-=b-(a+b)=-a-b.又 HD=b,∴=-a-b+b=-a+b.温馨提示 根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例 2】 设两非零向量 e1和 e2不共线.（1）如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1,-e2),求证：A、B、D 三点共线；（2）试确定实数 k,使 ke1+e2和 e1+ke2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将 e1,e2看作一组基底表示我们需要的向量，如，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量 ke1+e2,e1+ke2都是用基底 e1,e2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（ke1+e2）=λ(e1+ke2),解出 k 值即可.（1）证明： =e1+e2,+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,∴、BD 共线.又有公共点 B，∴A、B、D 三点共线.（2）解： ke1+e2与 e1+ke2共线，∴存在 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2),则（k-λ）e1=(λk-1)e2.由于 e1与 e2不共线，∴只能有则 k=±1.温馨提示 题目中已给出一组基底 e1,e2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底 e1,e2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例 3】 如果 e1、e2是平面 α 内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（ ）A.若实数 λ1 、λ2使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0B.空间任一向量 a 都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1、λ2∈RC.λ1e1+λ2e2不一定在平面 α 内，λ1、λ2∈RD.对于平面 α 内任一向量 a，使 a=λ1e1+λ2e2的实数 λ1、λ2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A 正确；B 错，这样的 a 只能与 e1,e2在同一平面内，不能是空间任一向量.C 错，λ1e1+λ2e2在 α 内.D...
