2.3.1 平面向量基本定理疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使 a=λ1e1+λ2e2. 其中不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.误区警示 (1)定理中的 e1、e2是两个不共线向量；(2)a 是平面内任一向量，且实数对 λ1、λ2是唯一的；(3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.二、向量的夹角1. 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b ， 在 平 面 上 任 取 一 点 O ， 作=a ，=b ， 则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做 a 与 b 的夹角.学法一得 (1)当向量 a 与 b 不共线时，a 与 b 的夹角 θ 是指从同一点出发的向量 a 与 b 所成的角，θ∈(0°,180°).(2)当向量 a 与 b 共线时，若同向，则 θ=0°；若反向，则 θ=180°.综合可知：向量 a 与 b 的夹角 θ∈［0°,180°］.2.a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.典题•热题知识点一 平面向量的基本定理例 1 如图 2-3-3，ABCD 的两条对角线相交于点 M，且=a，=b，用 a、b 表示、、和.图 2-3-3思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.解：在ABCD 中， =+=a+b，=-=a-b，∴==(a+b)=a-b，==(a-b)=a-b，==a+b，=-=a+b.方法归纳 由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算有时就能够很容易地证明几何命题.例 2 如图 2-3-4，OADB 是以向量=a，=b 为边的平行四边形.又 BM=BC，CN=CD，试用 a、b 表示、、.图 2-3-4解： =-=a-b，===a-b,∴=+=b+a-b=a+b.又 =a+b，得==a+b.∴=-=a-b.例 3 已知梯形 ABCD，AB∥CD，M、N 是 DA、BC 的中点，设=e1、=e2，以 e1、e2为基底表示、、.思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与、之间的关系.解：(1) ∥，∴存在唯一的实数 k，使=k·，即=ke2(0＜k＜1).图 23-5(2)由图 2-3-5,可知=-=e1-e2，而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0＜k＜1).(3)=(+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0＜k＜1).知识点二 判定动点 P 在定直线 AB 上例 4 设、、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点...
