2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课堂导学三点剖析 一、平面向量的数量积关于向量的数量积,注意:(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2)规定:零向量与任一向量的数量积为 0;(3)两个向量的数量积是一个数量,向量 a、b 的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“·”不能省略;(6)当〈a,b〉为锐角时,a·b>0;当〈a,b〉为直角时,a·b=0;当〈a,b〉为钝角时,a·b<0;(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量 F、s 的数量积,就是力 F 移动位移 s 所做的功.【例 1】 已知|a|=4，|b|=5，且 a 与 b 的夹角为 60°.求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）（a-b）2；（4）a2-b2.思路分析：利用两向量数量积公式 a·b=|a||b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算.解析:（1）a·b=|a||b|cosθ=4×5×cos60°=10.（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=42-20+52=21.（4）a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.类题演练 1已知|a|=4，|b|=5.当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b的数量积.思路分析:确定夹角 θ 运用数量积的公式列式求解.解:（1）a∥b.若 a 与 b 同向，则 θ=0,a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.若 a 与 b 反向，则 θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当 a⊥b 时，θ=90°,a·b=|a||b|cos90°=0.(3)当 a 与 b 的夹角为 30°时，a·b=|a||b|cos30°=.变式提升 1在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AC=,求·.思路分析:要求、,关键是确定与的夹角.解:如图(1),在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 AC=,所以直角边 AB==2.∴||=2,||=.如图(2),与的夹角∠BAC=45°,∴·=·(-)=-(·)=-||||cos∠BAC=-2×cos45°=-2××=-4. 二、两向量的夹角关于两向量的夹角,注意:(1)已知两个非零向量 a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB 称为向量 a 与向量 b 的夹角,记作〈a,b〉.(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉.(3)当〈a,b〉=时,称向量 a 与向量 b 互相垂直,记作 a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.(4)当〈a,b〉=0 时,a 与 b 同向;当〈a,b〉=π 时,a 与 b 反向.【例 2】 已知...
