高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义预习导航学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义预习导航课程目标学习脉络1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．知道平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．注意问题：(1)规定零向量与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是§与§的夹角，∠BAD 才是§与§的夹角．(3)正射影在轴 l 上的坐标 al 是一个数量，当 0≤θ<§时，al>0；当 θ=§时al=0；当§<θ≤π 时，al<0．(4)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．(6)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°．注意三种特殊情况：当 θ=0°时，a 与 b 同向；当 θ=90°时，a⊥b；当 θ=180°时，a 与 b反 向 ． 当 0°≤θ<90° 时 ， a·b>0 ； 当 θ=90° 时 ， a·b=0 ； 当 90°<θ≤180° 时 ，a·b<0．(7)若 a≠0，由 a·b＝0 不能推出 b 一定是零向量，因为当 a⊥b(b≠0)时，a·b＝0．自主思考 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算在定义和表示方法上有何区别？提示：(1)从定义上看：两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量 a，b 的数量积称为内积，写成 a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．