高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律课堂导学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.3.2 向量数量积的运算律课堂导学三点剖析 一、向量数量积的交换律和分配律【例 1】 已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角为 120°,求证:(a-b)⊥c.证法一: |a|=|b|=|c|=1 且 a、b、c 之间夹角均为 120°,∴(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0.∴(a-b)⊥c.证法二:如右图,设=a,=b,=c,连结 AB、AC、BC 的三条线段围成正三角形 ABC,O 为△ABC 的中心,∴OC⊥AB.又 =a-b,∴(a-b)⊥c.各个击破类题演练 1若 a、b、c 为任意向量，m∈R,则下列等式不一定成立的是( )A.（a+b）+c=a+（b+c）B.m（a+b）=ma+mbC.（a+b）·c=a·c+b·cD.（a·b）c=a（b·c）解析:A 项是向量加法结合律.B 项是向量数乘分配律.C 项是向量数量积分配律.故 A、B、C项均正确.D 项中，（a·b）c 表示与 c 共线的向量，a（b·c）表示与 a 共线的向量，而 c与 a 一般不共线，∴（a·b）c≠a(b·c）.故选 D.答案:D变式提升 1（2006 湖南高考,理 5） 已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与b 的夹角的取值范围是( )A.［0,］ B.［,π］C.［,］ D.［,π］解析:据题意,x2+|a|x+a·b=0 有实根,∴Δ=|a|2-4a·b≥0.∴|a|2≥4a·b.cosθ==.∴θ∈［,π］.答案:B 二、向量的数量积的应用【例 2】 (本例是一组应用本节知识的题目)1.（2006 重庆高考,理 7） 与向量 a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为 1 的向量是( )A.()B.()或()C.()D.()或()解析：由题意知 a 与 b 垂直,设所求向量为 m,则 m 与 a 或 b 所成角为 45°或 135°,排除A、C.验证 B 或 D 中任一个值即可迅速得解.答案:B2.(2006 重庆高考,文 8) 已知三点 A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中 k 为常数.若||=||,则与的夹角为( )A.arccos() B.或 arccosC.arccos D.或 π-arccos解析:由||=||,得 k=0 或 6.∴=(-3,-4),=(4,-3)或=(4,3).∴||=||=5.又 cos〈,〉=,代入坐标,∴与的夹角为或 π-arccos.答案:D3.已知向量 a、b 的夹角为 60°,且|a|=4,|b|=2,求(1)|3a-4b|;(2)(a-b)·(a+2b).解:(1)因为|3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2=9×16-24×4×2×cos60°+16×4=16×7,所以|3a-4b|=.(2)(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=16+4×2×-2×4=12.类题演练 2已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为,求|a+b|、|a-b|的值.思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数...